1x 2 i y 1 y 2 Contoh : 4 2 3 i i z, maka konjugatnya 4 2 3 i i z z Menentukan Nilai Mutlak dari z Seperti yang telah diketahui bahwa untuk menetukan nilai r digunakan persamaan r x2 y2 zz (2.7) Sehingga terlihat jelas bahwa terdapat hubungan antara r dan z. Contoh 1: 7 2 14 1 5 3 1 5 3 1 5 3 i i i i i i Contoh 2: 2 2 1 i i 2 2 1 i i = 1 1 5 5 Diketahuikoordinat titik P(1,0,-1), Q(-1,2,0), R(2,0,-3), dan S(3,-2,-1). Buktikan bahwa panjang proyeksi vektor PQ terhadap vektor RS sama dengan panjang proyeksi vektor RS pada vektor PQ, yaitu -4/3. Panjang Proyeksi Vektor; Skalar dan vektor serta operasi aljabar vektor; ALJABAR; 1(n). Penting untuk memperhatikan bahwa F 2 bukan hanya alias dari F 1 tetapi pada laju pencuplikan 40 cupilkan per sekon, F 3 = 90 Hz juga merupakan alias dari F 1, F 4 = 130 Hz dst. Seluruh sinusoida cos 2 (F 1 + 40k)t, k = 1,2,3,4,. yang dicuplik 40 cuplikan per sekon menghasilkan nilai-nilai identik. MikrajuddinAbdullah - Fisika Dasar I 2016-1.pdf. M. Perdana. Download Download PDF. Full PDF Package Download Full PDF Package. This Paper. A short summary of this paper. 37 Full PDFs related to this paper. Download. PDF Pack. People also downloaded these PDFs. People also downloaded these free PDFs. . Induksi Matematik Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh Misalkan pn adalah pernyataan yang menyatakan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah nn + 1/2”. Buktikan bahwa pn benar! Contoh lainnya Setiap bilangan bulat positif n n 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu atau lebih bilangan prima. Untuk semua n 1, n3 + 2n adalah kelipatan 3. Untuk membayar biaya pos sebesar n sen dolar n 8 selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan 5 sen dolar. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali. Jika ada n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah nn – 1/2. 5. Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari sebuah himpunan yang beranggotakan n elemen adalah 2n Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas. Prinsip Induksi Sederhana. Misalkan pn adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa pn benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa p1 benar, dan untuk semua bilangan bulat positif n 1, jika pn benar maka pn + 1 juga benar. Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Langkah induksi berisi asumsi andaian yang menyatakan bahwa pn benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa pn benar untuk semua bilangan bulat positif n. Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa 11! + 22! + … + nn! = n + 1! – 1 Contoh 2. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Penyelesaian i Basis induksi Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 12 = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1. ii Langkah induksi Andaikan untuk n 1 pernyataan 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2 adalah benar hipotesis induksi [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah 2n – 1]. Kita harus memperlihatkan bahwa 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = n + 12 juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = [1 + 3 + 5 + … + 2n – 1] + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n + 12 Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2. Prinsip Induksi yang Dirampatkan Misalkan pn adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa pn benar untuk semua bilangan bulat n n0. Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa pn0 benar, dan untuk semua bilangan bulat n n0, jika pn benar maka pn+1 juga benar. Contoh 3. Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, buktikan dengan induksi matematik bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 Penyelesaian i Basis induksi. Untuk n = 0 bilangan bulat tidak negatif pertama, kita peroleh 20 = 20+1 – 1. Ini jelas benar, sebab 20 = 1 = 20+1 – 1 = 21 – 1 = 2 – 1 = 1 ii Langkah induksi. Andaikan bahwa untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar hipotesis induksi. Kita harus menunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2n+1 + 1 – 1 juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2n+1 – 1 + 2n+1 dari hipotesis induksi = 2n+1 + 2n+1 – 1 = 2 . 2n+1 – 1 = 2n+2 – 1 = 2n+1 + 1 – 1 Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 Contoh 4. Buktikan dengan induksi matematik bahwa pada sebuah himpunan beranggotakan n elemen, banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari himpunan tersebut adalah 2n. Contoh 5. Buktikan pernyataan “Untuk membayar biaya pos sebesar n sen n 8 selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 sen” benar. Penyelesaian i Basis induksi. Untuk membayar biaya pos 8 sen dapat digunakan 1 buah perangko 3 sen dan 1 buah perangka 5 sen saja. Ini jelas benar. ii Langkah induksi. Andaikan bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n n 8 sen dapat digunakan perangko 3 sen dan 5 sen hipotesis induksi. Kita harus menunjukkan bahwa untuk membayar biaya pos sebesar n + 1 sen juga dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5 sen. Ada dua kemungkinan yang perlu diperiksa Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan mengganti satu buah perangko 5 sen dengan dua buah perangko 3 sen, akan diperoleh susunan perangko senilai n + 1 sen. Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3 sen semuanya. Karena n 8, setidaknya harus digunakan tiga buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko 3 sen dengan 2 buah perangko 5 sen, akan dihasilkan nilai perangko n + 1 sen. Contoh 6. Sebuah ATM Anjungan Tunai Mandiri hanya menyediakan pecahan uang Rp dan Rp -. Kelipatan uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh ATM tersebut? Buktikan jawaban anda dengan induksi matematik.

diketahui bahwa 1 1 3 1 1 4